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Conflictos entre matemáticos: Henri Poincaré versus David Hilbert – Impulso Informativo

Conflictos entre matemáticos: Henri Poincaré versus David Hilbert

By on marzo 29, 2021

Dr. Esptiben Rojas Bernilla

Universidad de Magallanes – Chile

A fines del siglo XIX y principio del XX, fue un periodo de profunda reflexión del trabajo matemático producto de la aparición de algunas paradojas lógicas y contradicciones de ciertos procesos matemáticos. La razón de estas anomalías en las técnicas matemáticas, se debió fundamentalmente en las falencias existentes en precisar rigurosamente ciertos conceptos matemáticos. Algunos creen que la matemática entró en una especie de crisis en sus fundamentos, no compartimos esta opinión puesto que la matemática siguió desarrollándose por esos años, por ejemplo, la teoría de la medida y los espacios abstractos se empezaron a consolidar. Lo que ocurrió fue una reflexión profunda en la epistemología de la matemática a fin de evitar estas paradojas lógicas y consolidar el trabajo matemático.

Se establecieron tres escuelas filosóficas clásicas: el logicismo, que reduce a toda la matemática a una simple proposición lógica p entonces q, el intuicionismo, que establece que los objetos matemáticos nacen en la mente humana, y el formalismo, que reduce a la matemática a sistemas formales.

  1. Russell fue un defensor del logicismo, su programa fracasó por limitar y complejizar el trabajo matemático, sin embargo el intuicionismo defendido por el matemático francés Henri Poincaré (1854 – 1912) y el formalismo defendido por el matemático alemán David Hilbert (1862 – 1943), entraron en una disputa epistemológica. Estos dos grandes matemáticos considerados por la comunidad matemática como los “últimos universalistas”, por el vasto conocimiento matemático que poseían, capaces de resolver problemas difíciles en áreas claves del conocimiento matemático de la época.

Henri Poincaré

Para H. Poincaré defensor del intuicionismo, todo objeto matemático proviene de la intuición humana, y debe ser construido explícitamente. Rechazaba la prueba por reducción al absurdo, sin embargo para David Hilbert defensor del formalismo, no se comprometía con la ontología matemática, y reducía a los objetos matemáticos a símbolos y a formas  secuenciales, dando a los enunciados matemáticos formas sintácticas que adquieren interpretación humana. De tal forma D. Hilbert pretendía una axiomatización completa y coherente de toda la matemática, su programa pretendía probar la consistencia de la aritmética.

  1. Poincaré debatía esta postura incluso llegó a decirle a Hilbert “cuando axiomatizas a los números enteros, estos ya existen antes que cualquier axioma, en la mente humana”. Ósea que para construir un objeto matemático axiomáticamente, este ya existe, los matemáticos de épocas anteriores ya han trabajado con ellos, indicando que antes de la axiomatización está la intuición humana. En vista que el intuicionismo limitaba el trabajo de algunos resultados matemáticos, por su negativa a considerar el método de reducción por el absurdo, y el infinito actual, además de privilegiar la constructividad de objetos, muchas veces matemáticamente inaccesibles, hizo que se impusiera el formalismo hilbertiano, casi toda la matemática que se crea y estudia está dentro de esta escuela.

David Hilbert

Es importante señalar que el austriaco Kurt  Gödel  (1906 – 1978), probó en 1940, que ningún sistema formal puede dar cuenta de todas las conjeturas que los matemáticos se pueden plantear, lo que significa el fracaso del programa formalista de Hilbert.

Entre H. Poincaré y D. Hilbert, siempre hubo un mutuo respeto académico y personal, las disputas solo fueron filosóficas.

Es importante mencionar que la escuela formalista ha potenciado como nunca en la historia, la investigación matemática; la cual se ha desarrollado espectacularmente; produciendo nuevos aportes al conocimiento científico, sin embargo también ha ocasionado una “Crisis en la enseñanza y aprendizaje de la matemática” , que hasta el día de hoy padecemos. Esta es una historia que esperamos algún día narrar.

Con este artículo finalizamos la saga “Conflictos entre matemáticos”, la siguiente será  “Mujeres Matemáticas”.

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