¿Qué es la topología algebraica?
Por: Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Universidad de Magallanes – Chile.
Una de las características de la matemática del siglo XX, es la de conectar áreas aparentemente distintas, con el propósito de resolver problemas de una de ellas, con las técnicas de la otra área. La riqueza conceptual se eleva a otro nivel, además, se generan estructuras que permite percibir la belleza intrínseca de las ideas matemáticas. Es fascinante sumergirse en ideas cada vez más abstracta, bajo propósitos específicos dentro de la matemática.
Una de estas ideas de conexión, se establece entre la topología y el álgebra abstracta. Dos mundos aparentemente distintos, pero que es posible unirlos mediante un sistema formal que identifique objetos de la topología con objetos algebraicos. Esta brillante idea se le ocurrió al francés Henry Poincaré.
El problema topológico de clasificar objetos geométricos como las superficies en nuestro espacio ambiente es difícil, si logramos agruparlos por alguna característica intrínseca, por ejemplo, el número de hoyos del objeto, podríamos asociarlo a un determinado grupo algebraico. La técnica matemática que permite este proceso se llama Topología Algebraica.
En primer lugar, observemos que los objetos sin hoyo solo se deforman en objetos sin hoyos, que los objetos con un solo hoyo se deforman en objetos de un solo hoyo, los objetos con dos hoyos se deforman en objetos con dos hoyos y así sucesivamente. Estas deformaciones deben hacerse sin romper los objetos, con el propósito de mantener la aproximación de sus puntos. El numero de hoyos de un objeto matemático se le llama número de Betty. Este número es llamado un invariante topológico en el sentido que no cambia cuando el objeto se deforma.
A Poincaré se le ocurrió la idea que en una esfera (objeto sin hoyos), todas las curvas cerradas sobre la esfera, se podría reducir continuamente a un punto y que por lo tanto asociarlo al grupo algebraico trivial G1 = (Xo). Después observó que en una esfera con un hoyo (o esfera con una asa), existían dos tipos de curvas cerradas sobre este objeto, una de ellas se reduce a un solo punto y el otro tipo de curva no se reduce a un punto (puesto que se enrolla en el asa), le asocio al grupo algebraico G2=ZxZ.
Estos dos grupos algebraicos G1=(xo) y G2=ZxZ, no son equivalentes, puesto que tienen propiedades diferentes (técnicamente se dice no son isomorfos) implica que la esfera y la esfera con un asa, no pertenecen a la misma clase. Es decir, se clasifico objetos sin hoyos con objetos con un solo hoyo. Un resultado fascinante que es posible generalizarlo con esferas con asas, para ello hay que cursar un curso de Topología Algebraica, en donde se estudia está técnica llamada Grupo Fundamental. No es la única forma de asociar objetos geométricos con objetos algebraicos, hay otro proceso llamado Homología. Incluso no solo se puede hacer con grupos algebraicos, sino también con otras estructuras algebraicas como anillos y módulos. El dispositivo matemático que asocia objetos geométricos con objetos algebraicos se denomina Funtor.
La afirmación: Los objetos geométricos equivalentes (deformables uno en el otro) implica objetos algebraicos equivalentes, es uno de los teoremas más interesantes de la Topología Algebraica, y que permite establecer algunas clasificaciones de los objetos geométricos.
La topología Algebraica es fascinante, aborda también otros problemas topológicos. Se han descubierto aplicaciones en la física teoría y en astrofísica.
Desde el punto de vista intrínseco, la Topología Algebraica, fue fundamental para desarrollar una parte de la Conjetura de Poincaré, uno de los problemas del milenio, resuelto el 2005 por el ruso Gregory Perelman. Está conjetura es parte de un proyecto más ambicioso de clasificación de variedades tridimensionales propuesto por el norteamericano William Thurston.
La Topología Algebraica en conjunto con otras disciplinas como la Topología Diferencial, establecen la Topología Geométrica, que abordaremos en otro artículo periodístico.
Si desean conocer la belleza de la matemática, estudien una Licenciatura, magíster y doctorado en matemática.
