¿Es el cero o el uno el primer número natural?

Por: Dr. Esptiben Rojas Bernilla

Universidad de Magallanes – Chile

Si nos remontamos a la antigua cultura griega, fue Aristóteles quien diferenció los conceptos de magnitud   asociado a la medición geométrica y la de número como un objeto abstracto de pluralidad, al decir: Uno significa medida de cierta multiplicidad y número significa pluralidad de medidas. Por este motivo es sensato que no se identifique al Uno como un número, porque la medida no es un conjunto de medidas, sino que la medida y el Uno son principios.

 De esta forma para los griegos los números naturales empezaban desde el dos. Como objeto de medición el uno, era la unidad para medir las cosas. Desde luego al particionar al 1 se convertía en plural y, por lo tanto, las fracciones si eran consideradas números. El cero concebido como ausencia de cantidad no existía en el mundo griego, puesto que no creían en el no ser, su presencia se vino a establecer muy paulatinamente, al principio como una notación que represente ausencia de cantidad en la numeración indo-arábica.

En la actualidad los números naturales tienen una conceptualización dualista, por un lado, la necesidad de contar (cardinal) y por otro lado la necesidad de ordenar (ordinales), es por ello, que para muchos matemáticos(as) (no especialista en los Fundamentos de la Matemática), el conjunto de los números naturales empieza desde el uno, en donde es consistente con su aspecto dual. Sin embargo, si le preguntamos a un matemático con entrenamiento en Fundamentos de la Matemática, nos diría que el conjunto de los números naturales empieza por el cero, que intentaremos explicar a continuación:

Un(a) matemático(a) especialista en Fundamentos de la Matemática, es esencialmente un formalista, que intenta a partir de axiomas y principios muy elementales dar sustento sólido a la matemática, usa como noción básica los conceptos de conjunto y pertenencia (aunque no los define). En ese sentido la construcción de los números naturales lo hace mediante el Axioma de conjunto inductivo:

en donde garantiza siempre la existencia de un determinado conjunto infinito. Con este Axioma   debe establecer una cierta ordenación compatible con la relación de pertenencia. Como formalista acepta al conjunto vacío, y usando el Axioma del conjunto inductivo va creando un primer conjunto infinito, sin embargo, se puede hacer lo mismo si tomara cualquier otro conjunto diferente del vacío, luego procede a demostrar que existe el más pequeño de todos los conjuntos inductivos (intersección de todos ellos)  a este lo llama el conjunto de los números naturales, denotado por

Es importante mencionar que esta construcción respeta la ordenación del conjunto por inclusión, mientras que la característica de conteo, no es relevante empezar por el 0 o el 1, al fin de cuentas es solo un tema de notación, aunque la ausencia de cantidad que representa el 0, no sea muy intuitivo para contar, esto no le preocupa al formalista.

No siempre lo que se enseña mediante el discurso matemático escolar, es exactamente lo mismo como se establece en la propia matemática. Esta controversia si el 0 o 1 es un número natural o no, se inició en la década de los 60 con la introducción de la llamada Matemática Moderna, bajo la influencia formalista, causando algunas rupturas cognitivas y que hasta hoy observamos en la educación.

Como transposición didáctica empezar a contar y ordenar desde el 1, sería lo más sensato como número natural. Sin embargo, desde formalismo matemático, los números naturales deben de considerar al 0 como primer elemento si queremos cuantificar al conjunto vacío.

El problema filosófico; si el vacío es o no un conjunto, es la esencia del ser o no ser, de Anaximandro, Parménides, Paul Sartre y de tantos filósofos. Desde el formalismo como paradigma actual de la matemática, se decreta mediante un Axioma o se demuestra su existencia, pero aceptando otro Axioma, es decir, cuando no comprendemos, los(as) matemáticos(as) simplemente axiomatizamos, aunque desde el punto de vista filosófico es insuficiente, no responde a la conjetura.