La conceptualización de la matemática (ParteI)
Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Universidad de Magallanes (Chile)
En este capítulo nos introduciremos brevemente en el desarrollo del pensamiento matemático y su estructura. El sustento del conocimiento matemático es el pensamiento hipotético – deductivo, que se desarrolló desde la antigua Grecia; uno de los filósofos de la antigüedad que contribuyó en este desarrollo fue Aristóteles (384 – 322 a.C.), quien planteó las leyes básicas del pensamiento humano a fin de obtener deducciones válidas; estas leyes básicas son:
1.- El principio de identidad, afirma que, si un enunciado es verdadero, entonces es verdadero.
2.- El principio de no contradicción, afirma que ningún enunciado puede ser verdadero y falso a la vez.
3.- El principio del tercio excluido, afirma que un enunciado es verdadero o falso, no existe más posibilidades.
La lógica aristotélica parte del supuesto que los procesos cognitivos reproducen lo que ocurre en la realidad objetiva, o sea, que las cosas extramentales existen tal como son pensadas por la mente humana. El ser humano internaliza el conocimiento a partir de las cosas que observa y experimenta, bajo esta perspectiva se desarrolló la matemática griega.
En matemática existen dos elementos básicos en su estructura, los conceptos y el método axiomático formal.
El concepto constituye el primer nivel del pensamiento matemático en su forma lógica, con ello reflejamos las cualidades genéricas y esenciales de los objetos y fenómenos de la realidad. En matemática los objetos son mentales, y los matemáticos crean o inventan sus propios objetos de estudio.
Por ejemplo, el concepto de número natural, nace de la coordinación del conjunto de objetos materiales, tales como los dedos de las manos, las piedras para contar el número de ovejas de un rebaño, etc., donde la propiedad genérica reflejada mentalmente es la cantidad de los objetos, los números naturales solo existen a nivel conceptual en la mente humana, no son susceptibles de ser percibidos por nuestros sentidos. Esto indica que ningún ser humano puede ver, oler o tocar algún número natural, además, estos objetos matemáticos creados cognitivamente no interactúan con los seres humanos. A menudo los conceptos matemáticos se relacionan o encadenan con otros conceptos más elementales.
Para los conceptos más elaborados, por ejemplo, el concepto de número par o impar, igualdad etc., se tiene un mecanismo que nos permite precisar este concepto, describiendo de manera lógica y sin ambigüedades las propiedades o relaciones que tienen los objetos, este mecanismo es llamada Definición. Una Definición matemática es una descripción precisa de las características esenciales de los objetos y fenómenos que abarca un concepto y muestra sus relaciones con otros conceptos más generales.
El edificio matemático que se va construyendo a partir de estos conceptos (definibles o no) y a través de afirmaciones evidentes que los griegos llamaron postulados o axiomas, por ejemplo, dos puntos determinan una recta, para luego, pasar a construir el conocimiento matemático con afirmaciones que necesitan una deducción lógicamente rigurosa (Demostraciones) para ser aceptado, los griegos lo llamaron teoremas, lemas, corolarios etc., según el grado de importancia que tenían.
En la actualidad un Sistema Axiomático formal, lo constituyen términos primitivos (no definibles), axiomas (preestablecidos) y deducciones (teoremas) sujetas a reglas de inferencia. Actualmente existen distintos sistemas axiomáticos formales, que fundamentan casi toda la matemática inventada por el ser humano, sin embargo, el Sistema de Zermelo – Franklin es hoy día el más aceptado. Ver el libro Una axiomatización de la teoría de conjuntos por Esptiben Rojas, se hace un estudio detallado de tal sistema.
En todas las ramas de la Física, la Química, la Biología; en general en todas las disciplinas científicas y aún en las Humanidades y Ciencias Sociales, tratan de establecer una sistematización, consistente en un encadenamiento y ordenación lógica de los conceptos y proposiciones que las constituyen, de manera que una proposición o concepto posterior esté lógicamente fundamentado en las anteriores; en esta ordenación hay un grupo primario de proposiciones y conceptos. Lo anterior, nos indica que estas disciplinas tratan de estructurarse conforme al método axiomático formal o en otras palabras tienden a matematizarse, revelando indiscutiblemente la potencia e importancia de la matemática para el desarrollo del conocimiento humano.
Un sistema de axiomas debe tener tres características esenciales: compatibilidad, independencia y completitud (idealmente).
Libro: El Arte de la Demostración en Matemática.
Autor : Esptiben Rojas Bernilla.
