¿Qué es el álgebra abstracta?

Por: Dr. Esptiben Rojas Bernilla.

Universidad de Magallanes – Chile.

Cuando por primera vez cursé la asignatura de álgebra abstracta en la Licenciatura de Matemática, me sorprendió que los contenidos eran muy distintos al álgebra que de ese entonces conocía. Podía entender que a nivel superior se demostraran axiomáticamente las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales, reales), como fue mi primer curso de álgebra en la universidad. Pero ver, en la asignatura de álgebra abstracta, definiciones de monoides, grupos, homomorfismos, anillos, cuerpos etc., sin ninguna explicación de sus orígenes, solo un formalismo a ultranza, motivó mi interés en conocer la historia y filosofía de la matemática.

Las raíces históricas del álgebra escolar, se desarrollaron hasta principios del siglo XIX.  Sin embargo, los antiguos problemas de la antigüedad (trisección de un ángulo con regla y compás, la duplicación del cubo, cuadratura del círculo) se mantenían sin resolver. Por aquellas épocas ocurrió un agotamiento de las técnicas practicas del álgebra, eran estériles para solucionar no solo los problemas de la antigüedad, sino también para buscar solucionar las ecuaciones de quinto y mayor grado por medio de radicales, problema planteado por los matemáticos italianos del siglo XVI.

Este agotamiento epistemológico, de este y otros problemas matemáticos condujeron a una tercera revolución matemática, un cambio de paradigma en el hacer matemático, en este contexto nace las primeras ideas del álgebra abstracta.

¿En qué consistió este nuevo hacer matemático en el siglo XIX? Básicamente en una matemática más conceptual, en el caso del álgebra, en lugar de centrarse en la operatoria y/o manipulación ingeniosa de las incógnitas de una ecuación algebraica, se preguntaron sobre las propiedades intrínsecas de las soluciones de una ecuación algebraica y encontraron una suerte de simetrías en las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, simetrías que se preservaban con los radicales. Fue fantástico entender que preservar las simetrías en las raíces garantizaba una solución por radicales. Había que trabajar con las permutaciones de las posibles raíces de una ecuación de quinto y más grado.

Aunque las primeras ideas de trabajar con permutaciones de raíces se deben a Joseph Lagrange (1736-1813), su trabajo no llegó tan lejos como la de Evaristo Galois (1811-1832), un joven francés de solo 21 años. Fue el primero en hablar de Grupos de permutaciones, acuñando la palabra grupo, para la posteridad. Sus ideas revolucionarias para la época no fueron entendidas por los matemáticos de la época, habló de grupos cocientes, grupos solubles etc. Murió en un duelo a sus 21 años, sin saber la transcendencia que tendría sus ideas en la matemática de la posteridad.

La actual definición de grupo abstracto se le debe a Artur Cayley (1821-1895), Richard Dedekind (1831-1916) estableció las nociones ideales, de cuerpo, la noción de anillo se le debe a David Hilbert (1862-1943).

La formalización de las ideas de Evaristo Galois, condujo a probar que las simetrías de las raíces de las ecuaciones de quinto y más grado no se preservan, probado mediante unas cadenas de subgrupos, que no existe solución por radicales de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y más. Potente resultado, que superó las antiguas formas del trabajo algebraico. Además, las construcciones con regla y compás, fueron formalizados por medio de cuerpos algebraicos, permitiendo demostrar la imposibilidad cuadrar el círculo y la duplicación del cubo. La trisección de un ángulo con regla y compás se probó que solo era posible para ciertos casos particulares, todo esto sin el uso de estos instrumentos de dibujo. La solución de los problemas de la antigüedad, fue el incentivo más importante para seguir trabajando en esta matemática conceptual, en ves de una matemática operatoria. Este nuevo hacer matemático, ha quedado impregnado en nuestra formación matemática. El formalismo hilbertiano lo ha consolidado, sin embargo, le quitó la riqueza histórica filosófica, que no permite visualizar el propósito del hacer matemático.

La palabra abstracta, es producto de su génesis, sería más propio decir “álgebra conceptual” como es toda la matemática en la actualidad. La conexión del álgebra abstracta con la geometría y el análisis matemático, es uno de los progresos para fascinantes de la matemática actual.