¿Qué es el cálculo diferencial?
Por: Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Universidad de Magallanes – Chile.
El Cálculo Diferencial ha tenido una evolución desde Eudoxo de Cnido (390-337 a.C.) con sus primeras ideas sobre lo «infinitamente pequeño», pasando por Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) quien, mediante el método de reducción al absurdo, pudo calcular áreas y volúmenes de figuras redondas; no con la precisión que finalmente se consiguió en el siglo XVII con Newton y Leibniz. Las dificultades técnicas y conceptuales estuvieron relacionadas con lo infinitamente pequeño; para lograr formalizarlo se esperó hasta el siglo XIX y fue parte de una tercera revolución matemática. Para Newton, era conceptualizar la «fluxión» y para Leibniz la «diferencial», o sea, la velocidad física para Newton y la pendiente de una recta tangente para Leibniz; sin embargo, ambos usaban elementos intuitivos y poco formales. Fue así hasta bien avanzado el siglo XIX. Hasta en esa época, estas ideas eran consideradas herramientas para modelar fenómenos de la naturaleza; hasta hoy día, algunos lo siguen considerando así.
Toda invención humana resulta ser una herramienta, puesto que el ser humano la crea para «hacer algo», o sea, es una característica de la invención, pero no dice nada de su esencia: ¿qué es? Lo mismo pasa con el Cálculo Diferencial cuando se le ve como una herramienta, pero no se dice nada de su esencia, de lo que realmente es. Para descubrir qué es el cálculo, qué es la geometría, qué es el análisis, qué es el álgebra abstracta, etc., es necesario adentrarse en las ideas histórico-filosóficas de fines del siglo XIX, pero fundamentalmente en la matemática del siglo XX.
Con respecto al Cálculo Diferencial, si bien es cierto que como herramienta es una de las tecnologías matemáticas más potentes en distintos ámbitos, detrás de toda su formalización matemática se encuentra una idea clave en el pensamiento matemático contemporáneo: es decir, llegar «desde lo local a lo global». Caracterizar formalmente (coherente con el actual formalismo matemático) lo infinitamente pequeño (que no está al alcance cognitivo humano), ver lo local para dar cuenta de la globalidad del hecho matemático. Por eso, podemos hacer pequeños cálculos locales (por ejemplo, calcular las derivadas, puntos críticos, etc.) para luego dar cuenta de la globalidad de la curva.
La idea central es pasar de lo local a lo global, pero ¿cómo lo hacemos? Pues mediante otra idea: la «linealización local de la curva». En otras palabras, la tecnología matemática llamada «derivada» establece una forma de linealizar una curva, es decir, deformar localmente la curva y convertirla en una pequeña recta. En funciones de varias variables, esta tecnología funciona de la misma manera: se deforma localmente una superficie (alrededor de un punto) para convertirla en un pequeño plano. Lo fantástico es que esa idea se puede generalizar a infinitas dimensiones: pasar de lo no lineal a lo lineal localmente. Hoy día estas ideas podrían parecer muy obvias, pero necesitaron muchos siglos de maduración y de encontrar la técnica formal adecuada.
El Cálculo Diferencial es parte de una de las ideas esenciales de la matemática; en muchas partes de la matemática se trata de caracterizar lo global del fenómeno matemático con base en lo local. Un tránsito formal fascinante porque se puede objetivizar en distintos ámbitos. Para comprender ¿qué es la matemática? o cualquiera de sus temas de estudio, tenemos que penetrar en su esencia, en la mente de los matemáticos profesionales, en su hacer, reflexionar y capturar esa esencia, para luego comprender sus conexiones y proyecciones matemáticas. Lo hermoso de la matemática se encuentra en sus ideas globalizantes y no en sus cálculos (que hoy día los puede hacer una máquina que no piensa).
El Cálculo Diferencial es la parte del Análisis Matemático que estudia las formas de caracterizar objetos globales —como curvas en el plano, en el espacio, superficies e hipersuperficies— con técnicas locales de linealización. Los dominios de estos objetos matemáticos pueden ir más allá de los números reales y ser realizados en dominios más abstractos. La idea central es la misma, cambia el ámbito donde se desarrolla y, de acuerdo a ese ámbito, se elaboran conceptos isovalentes; por ejemplo, la derivada en espacios de Banach.
