¿Qué es la geometría analítica?
Por: Esptiben Rojas Bernilla
Universidad de Magallanes – Chile
En la educación básica y media tradicionalmente se estudia aritmética, álgebra elemental, geometría euclidiana y trigonometría. En general la educación ha segmentado el conocimiento y la matemática no ha sido la excepción. Cada tema tiene una belleza intrínseca que se percibe con un persistente trabajo intelectual, sin embargo, la conexión, la asociación, son constructos mentales que permite percibir la belleza más ampliamente. Bajo este proceso se ha desarrollado el conocimiento humano hasta el día de hoy.
Percibir la belleza de ideas en cualquier conocimiento humano muchas veces se encuentra conectando distintas áreas, a fin de reinterpretarlo conceptualmente, la matemática no es la excepción.
La primera conexión ocurrido en matemática fue en el siglo XVII (2da. revolución matemática). Esto ocurrió, por el agotamiento de las técnicas sintéticas de la geometría, incapaces de resolver los tres problemas de la antigüedad (trisección de un ángulo con regla y compás, duplicación del cubo, cuadratura del círculo), además de un progreso práctico del algebra elemental. Sin embargo, hasta ese momento, la geometría euclidiana y el álgebra eran dos mundos distintos, sin conexión. La incursión del racionalismo como fuente filosófica para adquirir el conocimiento fue fundamental para dar este gran paso de conectar estos dos mundos.
Con e fin de resolver problemas de la geometría sintética con las herramientas del álgebra, fue necesario la invención de un dispositivo matemático, que permitita dar ese salto epistémico, y que constituye hasta el día de hoy una fuente de riqueza conceptual en el trabajo matemático. Esta herramienta inicialmente inventada por René Descartes (en una dimensión) y luego consolidada (en dos y tres dimensiones) por Isaac Newton, es llamado sistema de coordenadas.
Un sistema de coordenadas es un constructo matemático que permite asociar biunívocamente un punto geométrico con un objeto numérico ósea algebraico. Este dispositivo permite establecer la isovalencia entre objetos geométricos y objetos del álgebra elemental. Así transformar un problema geométrico en un problema algebraico. La riqueza conceptual es enorme, por primera vez en la historia la geometría de Euclides, puede ser vista como números, pares ordenados, tripletas ordenadas y ecuaciones algebraicas. Objetos geométricos conocidos por los griegos como recta, plano, círculo, parábola, elipse, hipérbola etc., fueron reinterpretados conceptualmente como ecuaciones algebraícas. Este puente entre estos dos mundos matemáticos ha generado una serie de técnicas que los matemáticos han bautizaron como geometría analítica.
La palabra analítico, tiene raíces históricas profundas. En primer lugar, el progreso sustancial de esta idea de establecer un sistema de coordenadas, fue fundamental para que Isaac Newton pueda establecer una de las herramientas más fundamentales de la ciencia, el cálculo diferencial e integral, y desarrollar las leyes de la mecánica clásica. Todo este proceso de análisis fuertemente ligado a los problemas de la naturaleza – que incluía concepciones filosóficas – fue llamado analítico, para luego convertirse en un concepto ligado al estudio de los números reales a fines del siglo XIX.
Una geometría sintética, asociada con técnicas algebraicas que a su vez se reducía a resolver problemas analíticos (cálculo diferencial e integral), fue consolidando una nueva área de conocimiento matemático llamado geometría analítica que hoy día es estudiado en ámbitos escolares y universitarios.
Sin esta brillante idea, hubiera sido muy complejo realizar los progresos matemáticos y técnicos que hoy día gozamos. Desde el punto de vista matemático, se inició una nueva forma de ver a los objetos matemáticos, fue como darle un soplo de vida, al punto, la recta, el plano, los triángulos etc., estaban estáticos, sin vida, atrapados por la concepción platónica de la imposibilidad de conocer la realidad tal como es, en movimiento. Sin embargo, la concepción aristotélica del mundo que permitió el desarrollo matemático y técnico también tuvo limitaciones que recién fueron superados a fines del siglo XIX, fue el preámbulo de la cuarta revolución matemática, el formalismo y el estructuralismo, en que nos encontramos sumergido en la actualidad.
