¿Qué es la topología?
Por: Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Universidad de Magallanes – Chile
En algunos cursos de matemática universitaria, aparece algunos términos como topología de la recta, topología del plano, gráficos topológicamente equivalentes etc. Es un lenguaje técnico, poco explicado, a pesar de su transcendencia en las ideas matemáticas modernas. Este término tiene que ver con la idea de aproximación y las formas geométricas.
Para aproximarnos a un punto fijo en la recta o en plano, es necesario medir las distancias hacia ese punto, que tienen que hacerse cada vez más pequeñas. Es decir, si sabemos cómo medir la distancia entonces podemos entender el significado de “aproximación”. Desde este punto de vista, en la recta, en el plano y en el espacio es posible entender la aproximación. Con esto podemos comprender las rupturas o saltos que puede experimentar una curva en el plano o en el espacio. Aún más figuras espaciales en donde también pueden estar rotos, cuando sus puntos no están cercamos o próximos.
La idea es fascinante, cuando estas figuras mantienen esa cercanía aún de deformaciones que puedan sufrir, por ejemplo, podemos imaginar a una esfera con una asa en deformarse en una tasa de café (con una oreja) o transformarse en una dona. Estas deformaciones no pueden hacerse con cortes o separaciones, el objetivo de siempre mantener las cercanías en la figura inicial y en la figura transformada. Esta deformación o transformación se realiza con un dispositivo matemático llamado función continua (es aquella que preserva las aproximaciones en ambas figuras).
Esta fascinante idea se puede realizar si podemos medir cercanías mediante la definición de una distancia. Uno de los resultados más importantes del siglo XX es haber clasificado todos los objetos de nuestro espacio ambiente, en esferas con n asas si eran orientables. Todos estos estudios se le llama Topología.
Qué pasa si no se trata de la recta, el plano o el espacio ambiente, ¿cómo podemos medir las distancias? Por ejemplo, cómo medir distancias si el conjunto está formado por 10 manzanas. En general, en un conjunto no se tiene forma de medir la distancia, así como se hace en la recta, en el plano o en el espacio. Para ello se tiene que capturar las propiedades esenciales de la distancia, para que nos permita entender la cercanía en ese conjunto o sea poder definir en ese conjunto funciones continuas (aquellas que preservan las cercanías). En otras palabras, dotarle a este conjunto de alguna estructura que nos permita concebir la idea de cercanía. Esa estructura los matemáticos le llaman una topología para el conjunto. Lo fascinante de esta idea, es que aproximar también se puede concebir sin distancia.
Estas ideas no solo sirven para clasificar figuras en nuestro espacio ambiente, sino también, para caracterizar la geometría de nuestro universo, o establecer el movimiento de los flujos de calor para poder comprender que el único objeto sin hoyos en una dimensión mayor a nuestro ambiente, es también una esfera (resultado conocido como la conjetura de Poincaré). La clasificación de objetos en una dimensión mayor a nuestro ambiente (tridimensional), fue resuelto por el ruso Gregory Perelman, quién resolvió en el año 2005, la conjetura de geometrización de Thurston.
La Topología es una de las ramas de matemática más fascinantes, por ser muy importante para formalizar rigurosamente conceptos del análisis, la geometría, las ecuaciones diferenciales, etc., incluso tiene intersección en el álgebra abstracta, generando objetos matemáticos híbridos como por ejemplo los Grupos Topológicos, con interesantes aplicaciones a la Física Contemporánea.
Como disciplina en sí, es una de las más duras a estudiar, por ejemplo, la Topología conjuntista, el Álgebra topológica, y distintos espacios de aproximación de funciones, etc.
Sus orígenes se establecen en el siglo XVIII con las ideas de Leonard Euler, para establecer la independencia de la distancia, en la solución del problema de los siete puentes de Königsberg, donde nace la Teoría de Gafos. Antiguamente se le llamaba Análisis Situs, que Gottfried Leibniz acuño cuando se referiría a problemas independiente de la distancia. La definición actual de Topología se le debe a Félix Hausdorff, estas ideas se profundizaron con los trabajos del ruso Pavel Alexandroff y del polaco Waclaw Sierpinski.
